Untuk menentukan titik maksimum dan minimum dalam matematika, dapat dilakukan dengan menggunakan konsep turunan atau dengan melalui analisis grafik fungsi. Berikut adalah dua metode umum yang dapat digunakan:
- Metode Turunan: a. Langkah pertama adalah mengambil turunan fungsi. Turunan merupakan perubahan tingkat kecuraman suatu fungsi terhadap variabel independen. b. Setelah mendapatkan turunan fungsi, cari titik-titik di mana turunan fungsi sama dengan nol atau turunan tidak terdefinisi (turunan tak hingga). Titik-titik ini dikenal sebagai titik kritis. c. Selanjutnya, analisislah tanda-tanda turunan pada interval sekitar setiap titik kritis untuk menentukan apakah titik tersebut merupakan titik maksimum atau minimum. Jika turunan berubah dari positif ke negatif, maka terdapat titik maksimum, sedangkan jika turunan berubah dari negatif ke positif, maka terdapat titik minimum. d. Akhirnya, periksa nilai-nilai fungsi pada titik-titik maksimum dan minimum yang telah diidentifikasi untuk memastikan bahwa mereka benar-benar merupakan titik maksimum atau minimum.
- Metode Analisis Grafik: a. Pertama-tama, gambarkan grafik fungsi tersebut. b. Cari puncak atau lembah pada grafik. Puncak merupakan titik maksimum sedangkan lembah merupakan titik minimum. c. Perhatikan perubahan tanda garis tangen pada grafik di sekitar puncak dan lembah. Jika garis tangen berubah dari positif ke negatif, maka terdapat titik maksimum, sedangkan jika berubah dari negatif ke positif, maka terdapat titik minimum.
Perlu dicatat bahwa metode ini berlaku untuk fungsi yang kontinu dan diferensial di interval yang relevan. Selain itu, ada juga kasus khusus di mana titik maksimum atau minimum terjadi di tepi interval domain fungsi. Dalam hal ini, perlu diperhatikan batas-batas interval dan mempertimbangkan nilai fungsi pada batas tersebut.
Metode yang lebih lengkap dan rumit, seperti menggunakan turunan kedua atau menggunakan metode interval tertutup, juga dapat digunakan dalam kasus-kasus yang lebih kompleks.